Équations mathématiques – Principe de Bernoulli

En dynamique des fluides, le principe de Bernoulli stipule qu'une augmentation de la vitesse le long d'un écoulement sans frottement provoque simultanément une diminution de la pression ou de l'énergie potentielle du fluide. Le principe de Bernoulli porte le nom du mathématicien néerlando-suisse Daniel Bernoulli. Bernoulli a publié ce principe dans son livre Hydrodynamica en 1738.

Ce principe, parfois appelé équation de Bernoulli, peut être appliqué à différents types de débits de fluide. En fait, il existe différentes équations de Bernoulli pour différents types de fluides. La version la plus simple du principe de Bernoulli s'applique aux fluides incompressibles (par exemple, la plupart des fluides liquides) et aux fluides compressibles (par exemple, les gaz) qui se déplacent à de faibles nombres de Mach.

Le principe de Bernoulli et la loi de conservation de l'énergie

Le principe de Bernoulli peut être dérivé de la loi de conservation de l'énergie. En conséquence, dans un écoulement constant, la somme de toutes les énergies mécaniques du fluide se déplaçant sur un chemin est égale en tout point de ce chemin. Cette expression signifie que la somme de l'énergie cinétique et potentielle est constante. Par conséquent, toute augmentation de la vitesse du fluide augmente proportionnellement la pression dynamique et l'énergie cinétique du fluide, tout en diminuant sa pression statique et son énergie potentielle.

Le principe de Bernoulli peut également être dérivé directement de la 2ème loi de Newton. Si un fluide de petit volume se déplace horizontalement d'une région à haute pression à une région à basse pression, à l'arrière; signifie qu'il y a plus de pression qu'à l'avant. Cela exerce une force nette sur le fluide, le faisant accélérer le long de la ligne de courant.

Bernoulli a mené des expériences sur les fluides, et son équation n'est valable que pour les écoulements incompressibles.

Dans de nombreuses applications de l'équation de Bernoulli, le changement du terme ρgz le long de la ligne de courant est si petit qu'il est négligeable par rapport aux autres termes. Par exemple, le changement de hauteur z le long des lignes de courant d'un avion en vol est assez faible et le terme ρgz peut être négligé. Ainsi, l'équation ci-dessus peut également être utilisée sous la forme simplifiée suivante :

Forme simplifiée de l'équation de Bernoulli

pression statique + pression dynamique = pression totale

Chaque point d'un écoulement constant a sa propre pression statique p et sa propre pression dynamique q, indépendamment de la vitesse du fluide à ce point. Leur somme p + q est définie comme la pression totale p0. Le principe de Bernoulli peut ainsi se résumer ainsi : « la pression totale le long d'une ligne de courant est constante ».

Un écoulement irrotationnel peut être supposé dans toute situation où une grande masse de fluide traverse un corps solide. Les exemples sont les avions en cours et les navires se déplaçant dans des plans d'eau ouverts. En revanche, il est important de rappeler que le principe de Bernoulli ne peut s'appliquer à la couche limite ni aux écoulements dans de longues conduites.

Si le flux est non rotatif, la pression totale sur chaque ligne de courant est la même, et le principe de Bernoulli peut être résumé comme "la pression totale est constante tout au long du flux".

Si le débit est arrêté en un point d'une ligne de courant, ce point est appelé le point de stagnation et la pression totale à ce point est égale à la pression de stagnation.

📩 27/09/2021 18:53